AOJ 2385 - Shelter

AOJ

http://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=2385

問題

頂点数Mの多角形領域の中に，N個のシェルターがある。
多角形領域の中に等確率で位置すると考えたとき、最も近いシェルターまでの距離の期待値を求めよ。

制約

M,N<=100
-1000<=多角形の頂点座標<=1000

解法

あるシェルターが最も近くなる領域は、そのシェルターを母点とするボロノイ領域である。
そこで、各ボロノイ領域で期待値を計算して（重み付き平均として）足し合わせる。
ここでさらに、各ボロノイ領域を、母点とボロノイ領域の頂点で作られる三角形に分割する。
三角形に分割した後、下図のように、母点が原点、残りの2点のx座標が一致するように平行移動、回転する。

この三角形領域上で原点からの距離を積分する。
積分を計算すると、

のようになる。(追記：上の図のlとkの定義逆)
後は実装するだけ。

あと解説に”簡単な積分”と書いてあったけど自分はどう積分するかで小一時間悩んだorz。
解説を見るとグリーンの定理とか書いてあるけどどう使うんだろう…

ソース

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <complex>
#include <cstdio>
#include <cassert>
using namespace std;

#define REP(i,n) for(int i=0;i<(int)n;++i)
#define FOR(i,c) for(__typeof((c).begin())i=(c).begin();i!=(c).end();++i)
#define ALL(c) (c).begin(), (c).end())
const double EPS = 1e-8;
const double PI = acos(-1);
  
typedef complex<double> P;
namespace std {
  bool operator < (const P& a, const P& b) {
    // if (abs(a-b)<EPS) return 0;
    return real(a) != real(b) ? real(a) < real(b) : imag(a) < imag(b);
  }
}
double cross(const P& a, const P& b) {
  return imag(conj(a)*b);
}
double dot(const P& a, const P& b) {
  return real(conj(a)*b);
}
struct L : public vector<P> {
  L(const P &a, const P &b) {
    push_back(a); push_back(b);
  }
  L() {}
};
typedef vector<P> G;
#define curr(P, i) P[i]
#define next(P, i) P[(i+1)%P.size()]

int ccw(P a, P b, P c) {
  b -= a; c -= a;
  if (cross(b, c) > 0)   return +1;       // counter clockwise
  if (cross(b, c) < 0)   return -1;       // clockwise
  if (dot(b, c) < 0)     return +2;       // c--a--b on line
  if (norm(b) < norm(c)) return -2;       // a--b--c on line
  return 0;
}

P crosspoint(const L &l, const L &m) {
  double A = cross(l[1] - l[0], m[1] - m[0]);
  double B = cross(l[1] - l[0], l[1] - m[0]);
  if (abs(A) < EPS && abs(B) < EPS) return m[0]; // same line
  if (abs(A) < EPS) assert(false); // !!!PRECONDITION NOT SATISFIED!!!
  return m[0] + B / A * (m[1] - m[0]);
}

double area(const G& g) {
  double A = 0;
  for (int i = 0; i < g.size(); ++i) {
    A += cross(g[i], next(g, i));
  }
  return abs(A/2);
}

G convex_cut(const G& g, const L& l) {
  G Q;
  REP(i, g.size()) {
    P A = curr(g, i), B = next(g, i);
    if (ccw(l[0], l[1], A) != -1) Q.push_back(A);
    if (ccw(l[0], l[1], A)*ccw(l[0], l[1], B) < 0)
      Q.push_back(crosspoint(L(A, B), l));
  }
  return Q;
}

// 垂直二等分線
L bisector(const P &a, const P &b) {
  P A = (a+b)*P(0.5,0);
  return L(A, A+(b-a)*P(0, PI/2));
}
// ボロノイ領域
G voronoi_cell(G g, const vector<P> &v, int s) {
  REP(i, v.size())
    if (i!=s)
      g = convex_cut(g, bisector(v[s], v[i]));
  return g;
}

P rotate(P p, double ang) {
  return p * P(cos(ang), sin(ang));
}

double calc(P a, P b, P c) {
  // aを原点とし，bとcのx座標が同一になるように変換する
  b -= a; c -= a;
  double ang = PI/2 - arg(c-b);
  b = rotate(b,ang);
  c = rotate(c,ang);
  double p = b.real();
  double q = b.imag();
  double r = c.imag();
  double k = q/p;
  double l = r/p;
  double A = (l+l*l*l/3) - (k+k*k*k/3);
  return p*p*p*p * A / 4;
}

int main() {
  int m,n;
  cin>>m>>n;
  G g(m);
  REP(i,m) cin>>g[i].real()>>g[i].imag();
  vector<P> v(n);
  REP(i,n) cin>>v[i].real()>>v[i].imag();
  double ans = 0;
  REP(i,n) {
    G voronoi = voronoi_cell(g, v, i);
    REP(j,voronoi.size()) {
      ans += calc(v[i],curr(voronoi,j),next(voronoi,j));
    }
  }
  ans /= area(g);
  printf("%.10f\n", ans);
}